CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Primera Derivada 

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

  

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS 

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.




Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales queb<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.