SOLUCIÓN FINAL AL PROBLEMA CON CALCULO

Desarrollo del problema con cálculo:
Formulas
Para hallar el área total. A= 2πrh + 2πr2
Para hallar el volumen. V= πr2h
Le di valor a volumen, ya que me fije en que la mayoría de latas poseen un volumen de 350cm3. Entonces tenemos una lata con V = 350cm3
La formula anterior quedo así: 350 = πr2h
Luego despejamos h. h= 350/πr2

Según una información encontrada, el minimizar el costo equivale a minimizar el área total. A= área total

A= 2πr (350/ πr2) + 2πr2 Reemplazamos h.

A= 2πr (350/ πr2) + 2πr2 Cancelo los πr y queda lo siguiente:

A= (2). (350/r) + 2πr2 Luego de esto hago del número 2 un fraccionario.


A= (2/1). (350/r) + 2πr2 Después resuelvo esta multiplicación de fraccionarios.

A= (700 + 2πr2)/r Aquí empiezo a derivar el área total.
A’= [(700)’ – 700(1)’ + (2). (2 πr)2-1]/r2

A’= [(1).(0) – 700.(0) + 4πr ]/r2

A’= (– 700 + 4πr)/r2

(– 700/r2) + (4πr/1) = (-700 + 4πr3)/r2 resolver multiplicacion fraccionarios.

(-700 + 4πr3)/r2 = 0 Para minimizar debemos igualar a cero “0”

0. r2 = -700 + 4πr3 Hacemos transposición de términos.

0 + 700 = 4πr3

4πr3 = 700

r3= 700/4π 4π= 12.566 = 4 (3.1416)


3√r3 = 3√700/4π Sacamos raíz cúbica a ambos lados, de lo que resulta:


r = 3.81911
h= 350/πr2 h= 350/π(3,81911)2 h= 7.63

h= 2r
7.63 = 2(3.81911)

Basándome en los resultados del ejemplo 2 de la sección 4.7. (Stewart 2008) y comparándolos con los míos concluyo que h=2r

Para el desarrollo con cálculo del problema tuve que apoyarme en el libro matemática experimental 11 y en algunas formulas de los cilindros.

El Problema

Problema 

El problema que se pretende resolver es el siguiente: “En este proyecto, se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimice el costo del metal para fabricarla. Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, se resolvió este problema y halló que h=2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación h/r varía desde 2 hasta alrededor de 3.8." (Stewart 2008). ¿Puede explicar este fenómeno?

OPTIMIZACIÓN

 En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:                

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.

5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Problemas de optimización

De Todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.   

            

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:

2 x + 2 y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.



Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

                

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

 

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.



                 

CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Primera Derivada 

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

  

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS 

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.




Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales queb<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.

Derivada

Una Derivada Es:
Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

Derivada De Una Función Constante:

Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Este es un Ejemplo:

Derivada Exponencial:


Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejm:

1)f(x)= 5x³

f´(x)= 3*5x^3-1

f´(x)=15x²

2)f(x)= 2x⁵⁶²

f´(x)= 562*2x^562-1

f´(x)=1124x⁵⁶¹

Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.

Ejm:

y= Raíz cubica de x⁵  ---------------   x^5/3

y´= 5/3*x^5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).

Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­^{________________}f´(x)=f´(g(x))*g´(x)

y= Raíz cuadrada de 3x²-1

y= (3x²-1)^1/2

y= ½(3x²-1)^1/2-1*6x

y= 3x*(3x²-1)^1/2

                                 

Derivación implícita

 Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x.En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de una función implícita.

En muchas ocasiones no se puede resolver explícita mente una función dada en forma implícita.

 

          

SOLUCIÓN A EL PROBLEMA DE LA LATA

Solución 

SOLUCIÓN AL PROBLEMA: